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坚持阅读８分钟

“3的倍数特征”教学设计与思考

课前慎思

“3的倍数特征”与“2、5的倍数特征”之间的关系紧密又特殊，它们都是研究自然数倍数的特征，但二者被发现的难易程度差异很大。2、5的倍数特征落脚点在个位，而3的倍数特征与各个数位的数字相关，前者是局部关系，后者是整体关联，因而后者特征的发现难度比较大。浙教版教材如何揭示“3的倍数特征”呢？首先出示两组共 18个两位数，每组数的个位分别涉及1至9，让学生从中找出3的倍数，进而发现个位是1到9的两位数中都有3的倍数。这组材料的用意是要立3的倍数特征，首先要破原来 2、5倍数特征只看个位的思维定势与负迁移。该教材还有一个特色，就是以“数学百花园”形式，让学生通过自主阅读弄清楚 3的倍数特征的原理，不仅让学生知其然，还要知其所以然。

“凡是教师难教、学生难学的地方，一定是学生原有的思维方式不够用了。”一方面，部分学生会受到“2、5 倍数的特征”的负迁移，以为判断一个数是否是3的倍数只要看个位；另一方面，实证研究发现，学生的困难还在于不清楚“特征”的含义，他们误把“现象”当作“本质”、把“规律”当作“特征”。如果在2、5倍数的特征教学中，能让学生明白什么是“特征”，并尝试理解该特征背后的原理，对探索3的倍数特征会有利。但即便如此，探索“3的倍数特征”对学生而言依然是困难的。

教学目标

1. 经历直观操作、探索发现、举例验证等思维过程，掌握3的倍数特征，并能应用该特征。经历直观圈数等活动，探索3的倍数特征的算理。

2. 经历观察分析、归纳特征、探索算理的学习过程，发展抽象思维，提高合情推理能力。

3. 经历积极参与数学活动的过程，培养对数学的好奇心，养成独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，逐步形成数学素养。

教学重难点

重点是掌握3的倍数特征及其应用；难点是探索3的倍数特征的算理。

课堂再现

一、创设口算情境，

消除思维定势

出示：21 42 63 84 15 36 57 78 99

11 32 53 74 95 26 47 68 89

师：上面哪些自然数是3的倍数？要求女 同学口算第一组数，男同学口算第二组。学生发现：第一组自然数都是 3的倍数，而第二组自然数都不是3的倍数。

师：我们判断一个自然数是不是 3 的倍 数，是否只可以看个位？请说说理由。

小结：看来，判断一个数是否是2、5的倍 数只需要看个位，而是否是3的倍数不能只看个位，那么到底看哪些数位呢？请同学们大胆猜想一下。

猜想1：看所有的数位上的数字。

猜想2：把所有数位上的数字都除一遍。

猜想3：把所有数位上的数字加起来，再除 以3。

师：数学需要大胆猜想，也需要小心求证。 是不是3的倍数，不能只看个位了，同学们主动打开思维，去猜想是不是与所有数位上的数字有关，从局部思维过渡到整体思维，这样的猜想很值得肯定。今天这节课我们就来验证同学们的猜想，探索 3 的倍数特征。

思考

借助口算情境，帮助一些思维能力比较弱的孩子消除受2、5倍数特征的负迁移，同时通过设问，初步形成猜想，激发学生探究3的倍数特征的学习内驱力。

二、组织多样化学习，

探索特征与原理

1. 拨数实验，深化猜想

出示学习活动单：从3颗、4颗、6颗算珠中 任选一组，开展拨数实验。

（1）同桌合作，一人负责拨珠，一人负责判断拨出来的数是不是 3的倍数。可以借助计算器。

（2）限时3分钟，看哪一个小组拨出来的数多。

（3）填写实验报告单。

反馈发现：选择3颗、6颗的小组拨出来的 都是3的倍数，而选择4颗的小组拨出来数都不是3的倍数。

师：我们刚才只验证了3颗、6颗和4颗，例 子还非常有限，下面请大家自行选择不同数量的算珠，看看行不行。

2. 自选算珠，验证猜想

出示学习活动单：

（1）自选3的倍数颗算珠拨数。

（2）分工合作，完成实验报告单。

3. 整体思考，建立关联

师：通过刚才的实验，大家发现，凡是算珠 数量是3的倍数，如3颗、6颗、9颗、12颗，拨出来的都是3的倍数，仔细观察，算珠颗数与拨出来的数之间有什么关系？

经过两次数学小实验，这时的发现已经是 水到渠成了，但教师还是要学会等待，可以安排小组交流活动，让全体学生都能自主发现其中的联系。学生会发现，拨出来的数，各个数位上的数字加起来就是算珠的颗数，当算珠颗数是3的倍数时，拨出来的数也是3的倍数。

4. 脱离算珠，发现规律

师：下列这组数，你能快速看出是用几颗算珠拨出来的吗？用计算器算一算，它们是不是3的倍数？

师：是3的倍数的自然数有什么规律？

抽象概括得到：一个数各个数位上的数字 之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。反过来，这个数是3的倍数，那么它各个数位上的数字之和一定是3的倍数。像这样的规律，我们称为“特征”。

思考

第一次的算珠拨数实验，深化了猜想，让所有学生都意识到3的倍数与算珠颗数有关；第二次的算珠拨数实验，通过不完全归纳，在算珠颗数与各数位上的数字建立整体关联，然后脱离算珠发掘3的倍数特征，学生经历从情境到结构的数学化过程，促进数学抽象思维与素养的发展。

5. 合作探究，追溯原理

提问：发现了 3的倍数特征，还有什么问 题想问？

在学生提出疑问的基础上，形成新的探索 问题，如：为什么判断一个数是不是3的倍数，只要把各个数位上的数字加起来，看各数位数字之和就可以了呢？

出示学习单：探索36能被3整除的原理。

（1）圈一圈，9个9个圈。

（2）算一算：十位和个位一共剩下几个？

（3）想一想：圈走的数是3的倍数吗？剩 下的数与各个数位的数字有什么关系？

独立探索：从信封里任选一个你喜欢的 数，按照上面的方法研究一下。（信封里有两张卡片，分别写有66、123）

组织小组交流，全班汇报，引导学生观察 发现，66十位上圈剩下的就是十位的数字，个位上圈剩下的就是个位的数字。

师：那么123除了9个9个圈之外，还可以怎 么圈？（展示一位学生90+9的圈法）这种圈法是什么意思？为什么可以一次圈掉90个呢？

师：看来，的确比9个9个圈更简便。百位 上还有更快的圈法吗？（讨论得到：百位上可以圈99的倍数个）

延伸：百位上是 1时，我们可以一次性圈 走99个，剩1个。想象一下，如果变成一个四位数，千位上是 1，你会几个几个圈？还剩几个？如果千位上是4，这样圈还剩几个？千位上是8呢？

小结：千位上是4，剩4个一；千位上是8， 剩8个一。

总结：这样的方法不仅在两位数、三位数 中成立，在四位数、五位数甚至更多位数中也是成立的。

思考

每个特征背后都有原理性知识，探索原理性知识需要高认知水平的思维参与，从而促进高阶思维的发展。但遗憾的是，大多数的“特征课”只探究特征，不追溯原理，学生的理解始终徘徊于“是什么”的中低认知水平层次，却错过了一次挑战高认知水平层次的数学任务。数学是需要讲道理的，只要设计合理的数学活动和学习序列，学生是可以完成“为什么”的“做数学”任务的。学生借助直观图形，通过圈数活动，化抽象为直观，化静态为动态，理解了特征与十进位值制的关系。

三、设计分层练习，

分类达标与提升

1. 判断：下面各数能否被3整除？

48 504 3698 3699 AAA

可以渗透弃9判断法，并让学生解释为什 么可以弃9。

2. 在下面的□里填上一个数字，使它能被 3整除，可以怎么填？

（1）4□ （2）2□1

3. 出示213和方块图，先判断213是不是3 的倍数，再结合圈图活动阐述这样判断的理由。

思考

本课的设计主要突出以下三点：通过质疑、拨数、发现、举例、原理探寻等一系列数学思维活动，让学生深度卷入知识的再发现再创造过程；注重直观操作、几何直观、实验探索等符合学生认知规律的学习活动，有效改进学习方式，让学生积极主动地学习；尊重差异个性，根据水平层次理论设计习题，实施有差异的练习，促进有差异的发展，以满足对个性化学习的需求。

备注

本课例发表在《小学数学教师》2020年第7-8合刊上。

5

笑一笑：只认苹果

父亲：“现在有十个橘子，吃掉三个，还剩几个？”

儿子：“不知道，我们在学校总是用苹果做例子。”

——选自吴庆芳主编《数学阅读 数学幽默》

你若盛开 蝴蝶自来

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审核人：贾春波 李春英返回搜狐，查看更多